Computadores, ondas, simulações: uma introdução prática aos métodos numéricos usando Python

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Computadores, ondas, simulações: uma introdução prática aos métodos numéricos usando Python

Descrição

Prazos flexíveis

Prazos flexíveis
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Certificado compartilhável
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100% online
Comece instantaneamente e aprenda em sua própria programação.
Nível intermediário
Conhecimento básico de cálculo e análise, série, equações diferenciais parciais e álgebra linear.
Aproximadamente. 35 horas para concluir
Inglês
Legendas: francês, português (europeu), russo, inglês, espanhol

Heiner Igel
Prof. Dr.
Terra e Sciencessyllabus ambiental – O que você aprenderá com este curso
Semana 01 – Mundo discreto, física das ondas, computadores
O uso de métodos numéricos para resolver equações diferenciais parciais é motivada, dando exemplos de ciências da terra. Os conceitos de discretização no espaço e no tempo são introduzidos e a necessidade de amostrar campos com precisão suficiente é motivada (ou seja, número de pontos de grade por comprimento de onda). As malhas computacionais são discutidas e seu poder e restrições para modelar geometrias complexas ilustradas. O básico de computadores paralelos e programação paralela são discutidos e seu impacto nas simulações realistas. A equação diferencial parcial específica usada neste curso para ilustrar vários métodos numéricos é apresentada: a equação da onda acústica. Alguns aspectos físicos desta equação são ilustrados que são relevantes para entender suas soluções. Finalmente, são introduzidos notebooks Jupyter que são usados ​​com programas Python para ilustrar a implementação dos métodos numéricos.
Semana 02 O Método de Diferença Finita – Operadores Taylor
Na semana 2, apresentamos as definições básicas do método de diferença finita. Aprendemos a usar a série Taylor para estimar o erro das aproximações de diferenças finitas para derivados e como aumentar a precisão das aproximações usando operadores mais longos. Também aprendemos a implementar derivados numéricos usando o Python.
Semana 03 O Método da Differência Finita – Equação de onda 1D – Von Neumann Análise
Desenvolvemos o algoritmo de diferença finita na equação da onda acústica em 1D, discutimos as condições de contorno e como inicializar um exemplo de simulação. Observamos soluções usando a implementação do Python e observamos artefatos numéricos. Analiticamente, derivamos um dos resultados mais importantes da análise numérica-o critério de CFL que leva a um algoritmo condicionalmente estável para esquemas explícitos de diferenças finitas.
Semana 04 O método de diferença finita em 2D – anisotropia numérica, mídia heterogênea
Desenvolvemos a solução para a equação de onda acústica 2D, comparamos com soluções analíticas e demonstramos o fenômeno da anisotropia numérica (não física). Estendemos a análise von Neumann a 2D e derivamos a anisotropia numérica analiticamente. Aprendemos como inicializar um problema físico realista e ilustrar que a solução 2D já é bastante poderosa para entender fenômenos de ondas complexos. Introduzimos a equação de onda elástica 1D e mostramos o conceito de esquemas de grade escalonada com a formulação de velocidade-estresse de primeira ordem acoplada.
Semana 05 O método pseudoespectral, interpolação de função
Começamos com o problema de interpolação de função, levando ao conceito de série de Fourier. Mudamos para a série discreta de Fourier e destacamos suas propriedades exatas de interpolação em grades espaciais regulares. Introduzimos a derivada de funções usando transformadas discretas de Fourier e a usamos para resolver a equação de onda acústica 1D e 2D. A necessidade de simular ondas em áreas limitadas nos leva à definição de polinômios de Chebyshev e seus usos como funções de base para a interpolação da função. Desenvolvemos o conceito de matrizes de diferenciação e discutimos um esquema de solução para a equação de onda elástica usando polinômios de Chebyshev.
Semana 06 O método linear de elementos finitos – elasticidade estática
Introduzimos o conceito de elementos finitos e desenvolvemos a forma fraca da equação de ondas. Discutimos o princípio de Galerkin e derivamos um algoritmo de elementos finitos para o problema de elasticidade estática com base nas funções de base linear. Também discutimos como implementar condições de contorno. O método de relaxamento baseado em diferenças finitas é derivado para a mesma equação e a solução em comparação com o algoritmo de elementos finitos.
Semana 07 O método linear de elementos finitos – elasticidade dinâmica
Estendemos a solução de elementos finitos para a equação de onda elástica e comparamos o esquema de solução com o método de diferença finita. Para permitir a comparação direta, formulamos a solução de diferença finita na forma do vetor matricial e demonstramos a semelhança do método linear de elementos finitos e a abordagem de diferença finita. Introduzimos o conceito de adaptividade H, a dependência espacial do tamanho do elemento para a mídia heterogênea.
Semana 08 O método de elementos espectrais – interpolação de Lagrange, integração numérica
Introduzimos os fundamentos do método de elementos espectrais que desenvolvem um esquema de solução para a equação de onda elástica 1D. Os polinômios de Lagrange são discutidos como as funções básicas de escolha. O conceito de integração numérica de Gauss-Lobatto-Legendre é introduzido e mostrado que leva a uma matriz de massa diagonal que torna sua inversão trivial.
Semana 09 O método do elemento espectral – equação de onda elástica 1D, teste de convergência
Finalizamos a derivação da solução de elemento espectral para a equação de onda elástica. Mostramos como calcular os derivados necessários dos polinômios de Lagrange que usam polinômios da Legendre. Mostramos como executar a etapa de montagem que leva ao sistema de solução final para a equação de onda elástica. Demonstramos a solução numérica para meios homogêneos e heterogêneos.

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